رياضيات در طبيعت

۵۵آنلاین : سپنتا نوروزيان

چرا آب و‌ هوا برای بیشتر از چند روز قابل پیش‌بینی نیست؟ اَشکال جالب روی سطح صدف‌ها و همین‌طور مصرف انرژی در جانداران چه ارتباطی با ریاضیات دارد؟ دنباله‌ فیبوناچی چیست و آیا می‌توان شواهدی از آن در طبیعت یافت؟ الگوهای طبیعی ریاضی و فرایندهای فیزیکی و شیمیایی نه‌تنها روی زندگی جانداران اثر می‌گذارند، بلکه در بعضی مواقع همین الگوهای ریاضیاتی هستند که خود جانداران را می‌سازند. آنچه مي‌خوانيد، ترجمه مستند كوتاه و دوقسمتیِ «ریاضیات در طبیعت»، محصول CuriosityStream است. در اين مستند جان آدام، پروفسور ریاضیات در دانشگاه Old Dominion، نگاه کوتاهی دارد به قواعد ریاضیاتی نهفته در پدیده‌های طبیعی.

رياضيات را علم الگوها گویند. اين الگوها در اعداد، اَشكال، احتمالات و حركت وجود دارند. طبيعت قواعد مشخصي دارد كه من اكنون بيشتر از قبل آنها را مي‌بينم، چون حالا به دنبال‌شان مي‌گردم. آنها همه‌جا هستند و اگر چشمان‌مان را باز كنيم، هم مي‌توانيم آنها را بفهميم و هم از ديدن‌شان لذت خواهيم برد. اين بزرگ‌ترين نمايش مجاني روي زمين است. فكر مي‌كنم اگر بتوانم دانشجويانم را متقاعد كنم تا موبايل‌هايشان را كنار بگذارند و روی جهان اطرافشان متمركز شوند، مي‌توانند زيبايي حيرت‌انگيزي را ببينند؛ اميدوارم آنها را نيز مثل من به هيجان آورد. آنچه مرا به هيجان مي‌آورد، اين است كه گوناگوني خيره‌كننده اشكال و الگوها در دنياي طبيعي، همگي نتيجه اصول فيزيكي، شيميايي و زيست‌شناسي و قواعد رياضياتي نهفته در طبیعت است. در دنياي طبيعت، يكي از پايه‌اي‌ترين قواعد، كارآمدي و بهره‌وري بالاست. به نظر مي‌رسد طبيعت به دنبال مقرون به صرفه‌ترين و مؤثرترين راه‌ها براي رسيدن به اهدافش است. طبيعت مي‌خواهد مصرف انرژي را به حداقل برساند. مدل‌هاي رياضياتي زيادي از فرايندهاي طبيعي هستند كه از رويه كمينه‌سازي پیروی می‌کنند. يكي از اصول طبيعي كمينه‌سازي اين است كه «اگر مجبور نيستي، انرژي مصرف نكن»؛ درست مثل بعضي از دانشجويان من! بعضي از ابتدايي‌ترين جانوران، مثل اسفنج‌ها و مرجان‌ها، براي تغذيه منتظرند تا غذا به سمت‌شان بيايد؛ به زبان فني آنها نامتقارن هستند. اما بيشتر جانوران واجد نوعي تقارن آشكار و مهم هستند. اگر به شقايق دريايي نگاه كنيم، يكي از جانوراني كه مي‌توان گفت تقريبا قادر به حركت نيست، نوعي از تقارن به نام تقارن شعاعي را در آن مشاهده مي‌كنيم. اگر شقايق دريايي را از محور عمودي و در هر زاويه‌اي برش بزنيم، مي‌بينيم مقطع عرضي آن، هميشه به يك شكل است. يك نوع جالب ديگر از تقارن شعاعي، تقارن چرخشي است كه نمونه آن را در ستاره دريايي می‌بینیم. اگر بازوهاي ستاره دريايي را به‌دقت مرتب كنيد، تقارني پنج‌‌وجهي خواهيد ديد كه به معني پنج محور قرينه است كه هركدام با زاويه 72 درجه، یکی پس از ديگري قرار گرفته است. اين تقارن را در گياهان هم مي‌بينيم. گل‌هاي گياه پروانش، تقارني پنج‌وجهي دارند. اگر گل را در زاويه‌اي معين بچرخانيم، وضعیت قبلی گلبرگ‌های گل قابل تشخیص نیست. يك نمونه آشناتر، میوه سيب است. اگر یک سيب را به‌دقت از وسط به دو نیم تقسیم كنيد، خواهيد ديد كه حفرات هسته‌هاي سيب با الگوي تقارن پنج‌وجهي مرتب شده‌اند. اما معمول‌ترين شكل تقارن، تحت عنوان تقارن دوطرفي شناخته مي‌شود. تقريبا بيشتر موجودات سياره ما، زمین، تقارن دوطرفي دارند. می‌توان گفت كه اين موضوع به قابليت حركت ارتباط دارد. در جانوراني كه حركات سريع به سمت بالا و پایين يا چپ و راست دارند، هر طراحي‌‌ای قاعدتا اندام‌هاي حسي و دهان جاندار متحرك را در سرش قرار مي‌دهد. وقايع زيادي در دنياي طبيعي در جريان است. آن‌قدر علت و معلول‌هاي گوناگوني وجود دارد كه موجب مي‌شود انسان در جست‌وجوی يك قاعده يا اصل اساسي براي توصيف همه آنها باشد. من مي‌گويم احتمالا ظرافت، زيبايي و بهره‌وري هر سه، يكي هستند. براي مثال، كندوي عسل را ببينيد. همه ما آن ساختارهاي شش‌ضلعي را در شانه‌هاي عسل ديده‌ايم، ولي چرا شش‌ضلعي؟ چرا دايره نيست؟ دایره كمترين مقدار محيط را نسبت به يك سطح معين دارد. قطعا كندوي عسل مثالي عالي براي توضيح بهره‌وري است. متأسفانه مشكل دايره‌ها اين است كه شما نمي‌توانيد آنها را بدون بر جاي‌گذاشتن فضاهاي خالي به هم بچسبانيد. اما نزديك‌ترين چندضلعي به دايره، شش‌ضلعي منتظم است. درواقع شش‌ضلعي ميزان محيط لازم براي يك سطح معين را به حداقل مي‌رساند. زنبورها، چه خودشان بدانند، چه ندانند، مهندسان فوق‌العاده‌اي هستند. معلوم شده است كه همين ويژگي فضاپركن شش‌ضلعي‌ها موجب مي‌شود تا بتوان با صرف كمترين ميزان موم، بيشترين فضا را در اختیار داشت. اگر شما يك زنبور بوديد، چيزي كه بيشتر خوشحال‌تان مي‌كرد، اين بود كه با همین بهره‌وری بالا، به ازاي هر شش خانه‌اي كه می‌ساختید، يك خانه‌ شش‌ضلعی هم به صورت مجاني به دست مي‌‌آوردید. شواهد زیادی از شش‌ضلعي‌ها در طبيعت وجود دارد. آنها در پديده‌هاي ديگري مثل اشكال زمين‌شناختي و چشم حشرات هم وجود دارند و شايد مشهورترين نمونه‌اش، دانه‌هاي برف باشد. اينكه بيشتر وقت‌ها مي‌گويند هر دانه برفی منحصر به فرد است، سخن درستي است، اما بستگي به اين دارد كه در چه مقياسي به دانه برف نگاه كنيد. مثلا اگر من به دانه‌هاي برفي كه روي آستين كت تيره‌ام مي‌افتند نگاه كنم، مي‌بينم بعضي بزرگ‌اند و بعضي كوچك‌تر. من در آن مقياس نمي‌توانم منحصر به فرد بودنشان را درك كنم. اما اگر با ميكروسكوپ، خيلي خيلي نزديك‌تر برويم و بتوانيم مولكول‌ها را به تصویر درآوريم، مي‌بينيم همه آنها مثل هم‌ هستند و مولكول‌هاي يخ هيچ فرقي با هم ندارند. آن تقارن شش‌وجهي به روش‌های جالبي در مقياس‌هاي مختلف تکرار می‌شود. به همين دليل ما تقارن شش‌وجهي را در دانه‌هاي برف مي‌بينيم. در عين حال، آنها با هم فرق هم دارند. نامنظمي‌هاي كوچكي در هر كدام وجود دارد و به همین دلیل، هيچ كدام به‌طور كامل تقارن شش‌وجهي ندارند. اما مثل ما انسان‌ها که در تاریخ حیات خود در مکان‌های گوناگونی بوده‌ایم و تجربيات مختلفي داشته‌ايم، هر دانه برف هم مسيرهاي متفاوتي را براي رسيدن به زمين طي مي‌كند و در مناطق گوناگوني به زمين مي‌رسد. در مناطقي كه رطوبت و دماي متفاوتي دارند، ممكن است دانه‌هاي برف در معرض وزش بادهاي سخت قرار گيرند، كمي ذوب شده و دوباره منجمد شوند. از این نظر، همه‌ آنها در نهایت منحصر به فرد هستند. موردی که بیان شد، مثال خوبي براي يكي از جالب‌ترين خصوصيت‌هاي رياضياتي طبيعت است، يعني «آشوب جبري». يكي از ويژگي‌هاي آشوب جبري، وجود حساسيت ذاتي نسبت به شرايط اوليه است و براي دانه‌هاي برف، اين حساسيت برمي‌گردد به مسير مخصوصي كه برف در عمر كوتاهش براي رسيدن به زمين طي مي‌كند. يكي از ويژگي‌هاي آشوب اين است كه يك جابه‌جايي و تغيير كوچك در شرايط اوليه (كه به اثر پروانه‌اي نیز معروف است)، مي‌تواند با گذشت زمان، به نتايج كاملا متفاوتي منجر شود. مثال مشهور اثر پروانه‌اي کمی بي‌معني به نظر مي‌رسد. می‌گویند: پروانه‌اي كه بال‌هايش را در نقطه‌اي از آمريكاي جنوبي به هم مي‌زند، مي‌تواند منجر به بروز توفان بزرگي در ژاپن شود. هر چند این تعریف ممكن است شبيه نوعي مكتب عرفانی شرقي به نظر برسد، اما دقيقا بخشي از روندي است كه آن را آشوب جبري مي‌ناميم. به همين دليل است كه پيش‌بيني آب و هوا براي بيشتر از چند روز غيرممكن است، چون تغييرات خيلي كم مي‌تواند در چند روز آينده به ميزان زيادي تكثير شود و تأثیری شدید بر آب و هوا بگذارد. براي همين، تغییر ساختار آب و هوایی به طور ذاتي پيش‌بيني‌ناپذير است. ما قادريم براي چند روز آينده يا حتي 10 روز آينده حدس‌هاي خوبي بزنيم، اما بالاخره در يك جاي كار كاملا به بن‌بست مي‌خوريم. خيلي وقت‌ها تظاهرات آشوبِ جبری در طبيعت، طرح‌هاي پيچيده‌اي توليد مي‌كند كه ساختاري فركتال‌مانند دارد. شايد گفتنش سخت باشد، ولي فركتال اساسا خودش تجسم نوعي آشوب است. چند جور مي‌توان به فركتال‌ها نگاه كرد، ولي آنها در کل موجوديت‌هايی هندسي هستند. صرف‌نظر از اندازه كوچك يك فركتال، هر چقدر آن را بزرگ‌نمايي كنيد، تغييري در خصوصيات عددي و هندسي‌اش ايجاد نمي‌شود. يكي از بهترين نمونه‌هاي آن، منحني برف‌دانه كُخ است كه محبوب خيلي از دانشجويان، به‌ویژه دانشجويان من است، چون واقعا فريبنده و زيباست. يك مثلث متساوي‌الاضلاع، يعني مثلثي را كه سه ضلع يكسان دارد مي‌گيريم. سپس يك‌سوم مياني هر ضلع را حذف مي‌كنيم و يك مثلث متساوي‌الاضلاع ديگر را درون مثلث اولي قرار مي‌دهيم. تا اينجا چيزي شبيه ستاره داريم. اين روند را همچنان ادامه داده و تكرار مي‌كنيم. با تكرار بي‌نهايت اين روند، به يك الگوي شگفت‌انگيز از شكلي مي‌رسيم كه طول نامحدود و مساحت محدود دارد؛ چون مي‌تواند درون يك دايره محصور شود، پس می‌گویم مساحت محدودي دارد. اين يك نمونه اصيل از فركتال است. يك مورد ديگر، مثلث سيرپينسكي يا درزبند سيرپينسكي است. اگر نقطه مياني سه ضلع يك مثلث متساوي‌الاضلاع را علامت بزنيم و آنها را به‌هم وصل كنيم، مثلث ديگري خواهيم داشت كه رأس آن رو به پایين خواهد بود. مي‌توانيم آن را حذف كرده يا به رنگ مشكي درآوريم و سپس همين كار را با سه مثلث سفيد باقي‌مانده از مثلث اوليه انجام دهيم. اگر به اين روند ادامه دهيم، شكل عجيبي پديدار مي‌شود. مي‌توان آن را روي بعضي صدف‌ها ديد كه اين مثلث‌ها و الگوها را در اندازه‌هاي مختلف روي خود دارند. احتمالا ظهور اين اشكال، نتيجه نوعي فرايند شيميايي است كه من دانشی درباره‌ آن ندارم. اما به هر حال، اين نوعي تقليد از مثلث سيرپينسكي است؛ البته در سطحي پایين‌تر از آن ميزان دقت و ظرافت. اما واقعا حيرت‌انگيز است. آنها خيلي زيبا و شگفت‌انگيز هستند. چرا ریاضیات واقعا جواب می‌دهد؟ چرا این‌قدر سودمند است؟ آیا ریاضیات ابداعِ بشر است یا واقعا کشف شده است؟ من تصور می‌کنم ما ریاضیات را کشف می‌کنیم، نه ابداع. اگرچه هر کدام از این دو نتیجه‌گیری، به پیش‌فرض‌های فلسفیِ ما بستگی دارند. یکی از مشهورترین کاشفانِ نقش ریاضیات در طبیعت پسرِ جوانِ یک بازرگان ایتالیایی به نام فیبوناچی بود. فیبوناچی، ریاضی‌دانی قرن دوازدهمی بود که در شهر پیزا زندگی می‌کرد. او دنباله‌ ریاضیاتی‌ای را معرفی کرد که امروزه به طور گسترده و در اشکال گوناگون در طبیعت می‌بینیم؛ دنباله‌ای که به نام خودش توالی یا دنباله‌ فیبوناچی نامیده می‌شود. یک، یک، دو، سه، پنج، هشت و الی آخر. این دنباله‌ یا سری فیبوناچی است. هر عدد در این توالی، حاصل جمع دو عدد ماقبل خود است. عدد بعد از ۱ می‌شود ۱، چون پیش از ۱ فقط صفر داریم. بعد از آن هم ۲ را داریم، یعنی حاصل جمع ۱ با ۱. بعد از آن می‌شود ۳، که حاصل جمع ۲ و ۱ است. بعد می‌شود ۵، سپس ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹، ۱۴۴و الی آخر. کل این توالی بارها و بارها در طبیعت از یک شکل به شکل دیگر با نظمی حیرت‌انگیز تکرار می‌شود. حقیقتا شگفت‌انگیز است. هیچ‌کس نمی‌داند چرا این توالی در طبیعت تا این حد اهمیت دارد. فقط می‌دانیم که هست، چون آن را می‌بینیم. اگر به نحوه توزیع دانه‌ها در گل آفتابگردان نگاه کنیم، می‌توانیم مارپیچ‌های جالبی را ببینیم که شبیه به نوعی توهم بینایی‌ به نظر می‌رسند زیرا آنها در واقع نمایانگرِ نظمی که دانه‌ها طبق آن رشد می‌کنند، نیستند. با این حال، تعداد پیچش‌های ساعتگرد دانه‌ها و همین‌طور پیچش‌های پادساعتگرد آنها در ۹۵ درصد مواقع، نزدیک به اعداد دنباله فیبوناچی‌اند. اما، موارد بیشتر و جالب‌تری از آرایش دانه‌های گل آفتابگردان با اعداد فیبوناچی هم وجود دارند. نسبت اعداد متوالی در این دنباله به‌تدریج به مقدار عددی بخصوصی نزدیک می‌شود که آن را عدد طلایی می‌نامند. عدد طلایی (یعنی ۱ به علاوه‌ جذر ۵ تقسیم بر ۲) نتیجه طبیعی ویژگی‌های هندسی پنج‌ضلعی منتظم است. اگر یک پنج‌ضلعی منتظم رسم کنید و گوشه‌های آن را با خط به هم وصل کنید، خطوطی که گوشه‌های شکل را به هم متصل می‌کنند، یکدیگر را در یک نقطه‌ای خاص قطع می‌کنند. نسبت دو سمت خطوط قطع‌شده را می‌توان با عدد طلایی نشان داد. نسبت قسمت بزرگ‌تر خط به قسمت کوچک‌تر برابر است با نسبت کل خط به قسمت بزرگ‌تر که تقریبا برابر با 1.618 یا همان عدد طلایی است. نسبت طلایی یک مقیاس خطی است، به این معنی که نسبتی از طول دو خط است. اگر آن را بر پایه‌ مفاهیم هندسی دایره بیان کنیم، می‌توان به چیزی تحت عنوان زاویه‌ طلایی رسید. مقدار این زاویه حدود 137.5 درجه است و می‌توان در طبیعت آن را به‌وفور در نحوه‌ آرایش برگ گل‌ها مشاهده کرد. مفیدترین و مؤثرترین حالت چینش برگ‌ها روی ساقه گیاه حالتی است که برگ‌های تازه، با زاویه‌ای دقیقا برابر با زاویه طلایی نسبت به برگ زیرین جوانه بزنند. یکی از مزایای چنین چینشی، کمترین میزان سد نور برای برگ‌های زیرین است، آن هم زمانی که آفتاب از بالا می‌تابد. اگر از بالا به برخی از انواع کاکتوس‌ها نگاه کنیم، می‌بینیم زاویه طلایی، همچنان که برگ‌ها یکی پس از دیگری رشد می‌کنند، خودنمایی می‌کند. هر برگ متوالی، فضای خالی را با زاویه‌ای برابر با زاویه طلایی پر می‌کند و این واقعا حیرت‌انگیز است. من بعضی از این مقادیر را اندازه گرفتم و با اینکه نمی‌توانم کاملا دقیق اندازه بگیرم، تخمین خیلی خوب 137.5 درجه به دست آمد. هر چقدر بیشتر به پدیده‌های طبیعی نگاه می‌کنیم، شواهد بیشتری از نسبت‌های طلایی، زوایای طلایی و دنباله فیبوناچی را در عمل می‌بینیم و اغلب مشاهده می‌کنیم نتیجه به شکل یک مارپیچ ظاهر می‌شود. اگر با دقت بنگرید، آنها همه جا هستند. در صدف‌ دریایی، صدف نوتیلوس، صدف حلزون و... . در حقیقت ارتباطی بین این مارپیچ‌ها و نسبت طلایی وجود دارد. اگر یک مستطیل طلایی را در نظر بگیریم، یعنی مستطیلی که ضلع بزرگش برابر 1.618 و ضلع کوچکش برابر ۱ است و آن را از جایی که می‌توان یک مربع ساخت برش بزنیم، آنچه باقی می‌ماند یک مستطیل کوچک‌تر است که آن نیز از نسبت طلایی پیروی می‌کند. ارتباط بین مساحت مربع‌های ایجادشده واقعا شگفت‌انگیز است. این ارتباط از نوع اعداد متوالی دنباله‌ فیبوناچی است. با دو مربع به ضلع ۱ شروع می‌کنیم، سپس ۲، سپس مربعی که طول ضلعش حاصل جمع دو مربع قبلی است، یعنی ۳، سپس مربعی با ضلع ۵ (مجموع ۳ و ۲)، سپس ۸، بعدی هم ۱۳ و الی آخر. اگر به همین کار ادامه دهیم و سپس گوشه‌های هر مربع را با کمانی از یک دایره به هم متصل کنیم، تقریبا یک مارپیچ لگاریتمی به دست می‌آید که بسیار شبیه مارپیچ‌هایی است که در طبیعت مشاهده می‌کنیم، به‌خصوص به صدف نوتیلوس خیلی شبیه است. بار دیگر باید تأکید ‌کنم این اعداد همه‌جا هستند. یکی از معماهای قدیمی ریاضی در طبیعت برمی‌گردد به الگوها و نشانه‌هایی که روی بدن جانوران وجود دارد. خال‌های روی بدن پلنگ، نوارهای راه‌راه روی بدن گورخر و... این معما ذهن یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان قرن بیستم به نام آلن تورینگ را چنان به خود مشغول کرد تا اینکه موفق شد ابعادی از ماجرا را روشن کند. او یک نابغه بود. او فقط یک مقاله درباره اساس شیمیایی پدیده ریخت‌زایی منتشر کرد و با اینکه تنها همین یک بار به دنیای زیست‌شناسی سرک کشید، کاری اصیل و عمیق ارائه داد. ریخت‌زایی یک مفهوم زیست‌شناختی است و به مجموعه تغییراتی اطلاق می‌شود که در دوران جنینی رخ می‌دهند و درنهایت الگوها و شکل نهایی جاندار بالغ را می‌سازند. معادلات تورینگ واقعا پیچیده‌اند، ولی ریاضی‌دانان دریافتند که می‌توان با تغییر متغیرهای این معادلات به چیزهایی همچون لکه‌ها و خال‌ها، نوارهای راه‌راه و رنگ‌های یکدست روی بدن جانوران رسید. این مطالعات همچنین در پاسخ به بعضی پرسش‌های قدیمی نیز کمک کردند؛ از جمله این پرسش که آیا گورخر بدنی سفید با راه‌راه سیاه دارد یا بدنی سیاه با راه‌راه سفید؟ تا پیش از آن این‌طور تصور می‌شد گورخرها بدنی سفید با راه‌راه سیاه دارند، اما امروزه نگاه غالب دقیقا عکس آن است. جنین گورخر کاملا سیاه‌رنگ است. راه‌راه‌های سفید در آخرین مراحل جنینی ظاهر می‌شوند. در نتیجه، گورخرها بدنی سیاه‌رنگ با راه‌راه سفید دارند. اما همه رنگ‌ها در طبیعت حاصل واکنش‌های شیمیایی رنگدانه‌های روی پوست جانوران نیستند. بعضی رنگ‌ها نیز به وسیله ساختارهایی میکروسکوپی که نور سفید خورشید را به رنگ‌های تشکیل‌دهنده‌اش تجزیه می‌کنند، ایجاد می‌شوند. این پدیده، رنگین‌تابی نامیده می‌شود. خیلی از پرندگان و حشرات این رنگ‌های زیبا را روی بدنشان دارند. لغت رنگین‌تابی یا Iridecence از Iridos یونانی به معنای رنگین‌کمان ساخته شده است. من سال‌ها با جزئیات فراوان روی رنگین‌کمان‌ها مطالعه داشته‌ام. رنگین‌کمان از قوانین هندسی پایه‌ای و در عین حال ظریف پیروی می‌کند و فقط زمانی رخ می‌دهد که شرایط فوق‌العاده ویژه‌ای برایش فراهم باشد. خورشید باید در آسمان بدرخشد، قبلش هم باید باران باریده باشد یا در حال باریدن باشد و اگر همه شرایط مهیا بود و ارتفاع خورشید در آسمان نیز زیاد بالا نبود، آن وقت اگر پشت به خورشید بایستید، قطرات بارانی که روبه‌روی شما هستند نور خورشید را متفرق می‌کنند. این تفرق در همه جهات رخ می‌دهد. مقدار مشخصی از نور خورشید پس از ورود به درون قطره باران شکسته شده و از سطح پشتی قطره بازتاب داده شده و دوباره به سمت بیرون شکسته می‌شود. رنگ‌هایی که می‌بینیم از قطرات مختلفی می‌آیند. رنگ‌ها از هزاران قطره ایجاد می‌شوند، بنابراین این پدیده، یک پدیده‌ تجمعی است. یک قسمت از این نورهای پراکنده، به چشم ما می‌رسد، یک نسبت مشخص از رنگ‌های پراکنده سبز، نارنجی و... . به یک معنا، رنگین‌‌کمان جلوه‌ای خیلی خاص از خود خورشید است. فکر می‌کنم بیشتر مردم مثل من عاشق رنگین‌کمان‌ هستند. پدیده دیگری مرتبط با همین موضوع، پدیده‌ شکوه (Glory) یا همان هاله نور است. اگر تا به حال با هواپیما بالای ابرها پرواز کرده باشید و در سمتی نشسته باشید که خورشید در سمت دیگر هواپیما باشد، شاید دیده باشید که سایه هواپیما محصور در حلقه‌ای از نور روی ابرها افتاده است. این پدیده از تفرق نور درون قطره‌های آب درون ابرها ایجاد می‌شود. هر چقدر قطرات آب کوچک‌تر باشند، شعاع این حلقه هم بیشتر است. واقعا پدیده شگفت‌انگیزی است. هر چقدر بیشتر به این پدیده‌های نوری اتمسفری نگاه می‌کنیم، فریبنده‌تر به نظر می‌رسند. در مشاهده‌ تأثیر متقابل بین نور خورشید و قطرات آب، یا بین نور خورشید و کریستال‌های یخ همیشه این شکل‌ها و پیکربندی‌های مهم هندسی هستند که شما، یعنی مشاهده‌گر، خورشید و قطرات آب را به هم پیوند می‌دهند تا این اثرات را خلق کنند. در نتیجه‌ این عوامل می‌توان پدیده‌هایی مثل هاله خورشیدی، هاله‌ ماه، مه‌کمان، خورشید کاذب، رنگین‌کمان وارونه و رنگین‌کمان آتش را دید. این یک ضیافت ریاضیاتی است. همان‌طور که من همیشه می‌گویم، ریاضیات در طبیعت بزرگ‌ترین نمایش روی زمین است. آنچه مرا به هیجان می‌آورد، وقتی است که یک دانشجو در پایان کلاس یا حتي پایان ترم پیش من می‌آید و عکسی را که خودش گرفته یا طرحی را که از مشاهده‌اش روی کاغذ کشیده است، به من نشان می‌دهد. در حالی که کاملا هیجان‌زده شده و شاید حتي نمی‌داند که با چه پدیده‌ای روبه‌روست، از من می‌پرسد: «اینجا چه اتفاقی افتاده؟» من هم می‌گویم: «نمی‌دانم، من که آنجا نبودم، ولی می‌توان به فلان احتمال فکر کرد» یا «من حدس می‌زنم بهمان اتفاق افتاده است». این دانشجویان واقعا دارند درباره‌ وقایع بزرگ‌ترین نمایشِ مجانی روی زمین و قواعد نهفته‌اش فکر می‌کنند. اینکه چقدر درست فکر می‌کنند، اصلا مهم نیست، مهم این است که فکر خود را به کار می‌گیرند و روحیه کنجکاوی را در خود بیدار می‌کنند. سعي من اين است كه زيبايي طبيعت را به زبان ساده تشريح كنم. با تفسير اين مباحث در كلاس، به‌آساني مي‌توان هيجان و اشتياق را در دانشجويان بيدار كرد و فكر مي‌كنم اين ابزاري فوق‌العاده براي القاي كنجكاوي به بچه‌ها هم هست. البته بچه‌ها خودشان كنجكاوند، كنجكاوي در ذات بچه‌هاست. استفاده از این ابزارها صرفا براي ايجاد تمركز و پرسشگري در بچه‌هاست. اينكه فلان چيز چيست و چه‌كار مي‌كند؟ علم يعني پرسشگري و از اين نظر، دانشمندان و رياضي‌دانان همواره كودك‌اند.